CES-függvény

A hatványkitevős regressziós (Cobb - Douglas – típusú) termelési függvények széleskörű elterjedése, népszerűsége a függvény egyszerű és könnyen kezelhető matematikai alakjának tulajdonítható. Probléma viszont az, hogy a helyettesítési rugalmasság (s) értéke előre rögzített, eggyel egyenlő érték lehet csak. Ezt a korlátot oldották fel a CES (állandó helyettesítési rugalmasságú) termelési függvény kidolgozói. A CES függvénynél a helyettesítési rugalmasság értékét a konkrét termelési függvény eredményeként határozzák meg. Ebben az esetben a helyettesítési rugalmasság állandó, de nem feltétlenül egyenlő eggyel, viszont értéke nem lehet negatív. A CES függvény öt becsült paraméterével sokoldalúbban írja le a fejlődést, mint a három paraméteres Cobb-Douglas termelési függvény. Ugyanakkor a CES függvény becslése bizonyos problémákat vet fel. Szükség van a munkaerő és az állóeszköz "ára" becslésére és ez sok bizonytalanságot visz a modellbe. Iterációs eljárással viszont a munkaerő és az állóeszköz "ára" ismerete nélkül is meghatározható az a függvény, ami mellett a többszörös determinációs együttható (R2) értéke a legnagyobb. A CES-függvényt 1961-ben alkották meg az úgynevezett stanfordi kör tagjai, Kenneth Arrow, Hollis Burnley Chenery, Bagicha Singh Minhas és Robert Merton Solow.

A konstans helyettesítési rugalmasságú függvények vagy CES-függvények (angol constant elasticity of substitution) olyan, a mikroökonómiai fogyasztás- és termeléselméletben, valamint a makroökonómiában is alkalmazott n-változós függvények, amelyek általános képlete így fest:

$CES(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\alpha (\beta _{1}x_{1}^{\rho }+\beta _{2}x_{2}^{\rho }+...+\beta _{n}x_{n}^{\rho })^{\frac {1}{\rho }},$

ahol a görög betűk valós konstansokat jelölnek.

Belátható, hogy a CES-függvény helyettesítési rugalmassága $\sigma ={\frac {1}{1-\rho }}$.

A CES-függvényt 1961-ben alkották meg az úgynevezett stanfordi kör tagjai, Kenneth Arrow, Chenery, Minhas és Robert Merton Solow.

Speciális CES-függvények

• Cobb–Douglas-függvény: $\rho \rightarrow 0$, ezért $\sigma =1\,$.
• Tökéletes helyettesítés: $\rho =1\,$, ezért $\sigma \rightarrow \infty$.
• Tökéletes kiegészítés (fogyasztáselmélet) vagy rögzített arányú tényezőfelhasználás (termeléselmélet): $\rho \rightarrow -\infty$, ezért $\sigma \rightarrow 0$.

A CES-függvény becslése.

A CES-függvény képlete eredeti és logaritmizált formában, 3 változó, y, x1 és x2 esetében:

A CES függvény képlete.

• Ahol:

• h>0; 0< <1,

• y = a termelés (kibocsátás, output),

• x1 = a munkatényező (az élőmunka-ráfordítás, input),

• x2 = az állóeszköz-tényező (a holtmunka-ráfordítás, input),

• = a volumenhozadék, azt fejezi ki, hogy hány százalékkal nő a termelés (a kibocsátás) a termelési tényezők (x1 és x2) egy százalékos növekedése mellett.

• = az elosztási paraméter, a két termelési tényező részesedését fejezi ki a termelés [ ] létrehozásában, ahol az a holtmunka, míg az élőmunka részesedése.

• = a helyettesítés rugalmassága (a technikai felszereltség relatív változásának és a helyettesítési határarány relatív változásának a hányadosa)

• s1 = a helyettesítési határarány (határráta) a vizsgált termelési függvény esetében az élőmunka parciális deriváltjának és a holtmunka parciális deriváltjának a hányadosa.

• p = a helyettesítési paraméter, amely a helyettesítési rugalmasság (s) transzformációja, ha p=0, akkor s=1, ez a Cobb-Douglas függvény esete, ha: -1<p<0, akkor s>1, végül, ha 0<p< , akkor s<1.

• h = a semleges hatékonysági paraméter, amelynek változása meghatározott ráfordítások esetén azonos arányban változtatja a termelést.

• Ha ismernénk az és a p értékét, akkor egy háromváltozós lineáris modellre vezetnénk vissza a CES-függvényt és akkor a becslés megoldható lenne. A CES-függvény paraméterei ugyanis csak a p és ismeretében becsülhetők meg:

A CES függvény becslése. Megoldás

• A2 és p ismeretében a két hiányzó (lnh illetve h és ev) paraméter becsülhető.

Forrás:

• Termelési függvények felhasználása elemzésre. In.: CES függvény becslése is 3 módszerrel. Excel. (magyar nyelven). Sipos Béla. (Hozzáférés: 2023. július 18.)

Források

• Arrow, K. J. - Chenery, H. B. - Minhas, B. S. – Solow, R. M. [Capital - labor substitution and eco-nomics efficiency. The Rewiew of Economics and Statistics.1961. 225-250.] A szerzők vezetéknevének kezdőbetűi alapján a CES - függvényt ACMS vagy SMAC – függvénynek is hívják. Az állandó helyettesítési rugalmasságú függvény angol rövidítése CES. (Constant Elasticity of Substitution).
• Dr. Kádas Kálmán. Az emberi munka termelékenységének statisztikai vizsgálata a magyar gyáriparban. Magyar Statisztikai Szemle, 1944. Kádas Kálmán. Az emberi munka termelékenységének statisztikai vizsgálata a magyar gyáriparban.
• Dr. Mátyás Antal: A modern polgári közgazdaságtan története. KJK, 1973

• Pölöskei Pál-Szakolcai György. Az ágazati CES termelési függvény számítások újabb eredményei és egyes módszertani tapasztalatai. Szigma. 1972. 1. sz. [1]

• Dr. Mátyás Antal: A polgári közgazdaságtan története az 1870-es évektől napjainkig. KJK, 1979. ISBN 963 220 724 6

• Rédey Katalin-Sipos Béla. Termelési függvények a magyar ipar néhány ágazatában. (A Kádas-féle termelési függvényszámítás kiegészítése) Statisztikai Szemle. 1980. 7. sz.Rédey-Sipos: A Kádas-féle termelési függvényszámítás kiegészítése
• Kehl Dániel-Sipos Béla. Excel parancsfájlok felhasználása a statisztikai elemzésekben. Oktatási segédlet. Gyakorlati alkalmazások. OSZK-MEK (PDF és XLSM) (magyar nyelven). (Hozzáférés: 2022. március 1.)
• Benne: A CES-függvény becslése. (CES1.xls, CES2.xls CES3.xls)

• Termelési függvények felhasználása elemzésre. In.: CES függvény becslése is 3 módszerrel. Excel. (magyar nyelven). Sipos Béla. (Hozzáférés: 2023. július 18.)

• Pintér József. A termelési függvények vállalati alkalmazása. A CES-függvény becslése. Statisztikai Szemle. 1987. 2-3. sz. Pintér József. A CES-függvény becslése.